手抄報一：對稱的定義

定義一：對稱，指物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。

定義二：作為哲學(xué)范疇的對稱是指宇宙的根本規(guī)律對立統(tǒng)一規(guī)律。同一性是宇宙的本質(zhì)屬性，也是對立統(tǒng)一規(guī)律的本質(zhì)屬性，所以作為哲學(xué)“對稱”的對立統(tǒng)一規(guī)律不同于斗爭性占主導(dǎo)、作為“矛盾”的對立統(tǒng)一規(guī)律。具體科學(xué)或日常生活中的對稱，包括對應(yīng)、對等、平衡等均為哲學(xué)“對稱”的具體內(nèi)容。對稱邏輯、對稱經(jīng)濟(jì)學(xué)的“對稱”屬于哲學(xué)范疇。

定義三：《對稱》是舉世聞名的大手筆小冊子，是作者大學(xué)退休前“唱出的一支天鵝曲”，它由普林斯頓大學(xué)出版社將外爾（C.H.H.Weyl，曾譯作魏爾或者凡爾）退休前的系列講座匯編而成書。據(jù)說許多百科全書的“對稱”條目都將外爾的這部小書列為主要參考文獻(xiàn)。

定義四：在日常生活中和在藝術(shù)作品中，“對稱”有更多的含義，常代表著某種平衡、比例和諧之意，而這又與優(yōu)美、莊重聯(lián)系在一起。外爾的書首先用一章講鏡像對稱，涉及手性諸問題，有十分豐富的內(nèi)容。

2001年諾貝爾化學(xué)獎獎勵的課題主要是“手性分子催化”問題。如今，手性藥物在藥品市場占有相當(dāng)?shù)姆蓊~，有機分子手性對稱性已經(jīng)是相當(dāng)實用和熱門的話題。這里面仍然遺留下許多基本的問題沒有解答，比如生命基本物質(zhì)中的氨基酸、核酸的高度一致性的手性（即手性對稱破缺）是如何起源的？植物莖蔓的手性纏繞是由什么決定的？同種植物是否可能具有不同的手性？ 左右對稱在建筑藝術(shù)中有大量應(yīng)用，但是人們也注意到完全的左右對稱也許顯得太死板，建筑設(shè)計者常用某種巧妙的辦法打破嚴(yán)格的左右對稱，如通過園林綠化或者通過立面前的雕塑或者廣場非對稱布局，有意打破嚴(yán)格的對稱。通常，嚴(yán)格左右對稱的建筑，都盡可能放在了具有非對稱的周圍環(huán)境之中。 公眾可能較感興趣的是作者對摩爾文化、埃及和中國實際裝飾藝術(shù)品中對稱性的分析。在二維裝飾圖案中，總共有17種本質(zhì)上不同的對稱性。作者說，在古代的裝飾圖案中，尤其是古埃及的裝飾物中，能夠找到所有17種對稱性圖案。到了19世紀(jì)，有了變換群的概念以后，人們才從理論上搞明白只有17種可能性（波利亞的證明），而古人確實窮盡了所有這些可能。外爾有一句話特別值得注意：“雖然阿拉伯人對數(shù)字5進(jìn)行了長期的摸索，但是他們當(dāng)然不能在任何一個有雙重?zé)o限關(guān)聯(lián)的裝飾設(shè)計中，真正嵌入一個五重中心對稱的圖案。然而，他們嘗試了各種容易讓人上當(dāng)?shù)恼壑苑桨浮Ｎ覀兛梢赃@樣說，他們通過實踐證明了在飾物中使用五邊形是不可能的。”

這一論述非常關(guān)鍵，阿拉伯裝飾藝術(shù)的確時常費力地嘗試使用五次旋轉(zhuǎn)對稱。連續(xù)裝飾圖案中嵌入五次對稱圖元的麻煩之處在于，五次對稱要涉及黃金分割，安排下一個五邊形，則周圍需要作復(fù)雜的調(diào)整，這要比安排三角形、四邊形和六邊形的情況復(fù)雜得多。《對稱》還用相當(dāng)篇幅講晶體點陣的對稱性，我當(dāng)年學(xué)過結(jié)晶學(xué)和礦物學(xué)，知道這是相當(dāng)復(fù)雜的事情，現(xiàn)依稀記得32種對稱型，146種結(jié)晶單形，42種幾何單形和230種空間群的數(shù)字，具體內(nèi)容已經(jīng)想不清楚了。外爾的處理當(dāng)然并非想具體展示各種可能的晶格對稱性，書中討論得相當(dāng)簡略，這也給普通諸者閱讀造成了困難。要想真正搞明白230種空間群，還真要讀地質(zhì)學(xué)的圖書《結(jié)晶學(xué)與礦物學(xué)》。

手抄報二：對稱的案例

守恒律與對稱性的聯(lián)系

可以肯定的是，楊振寧1962年出版的《原子物理中某些發(fā)現(xiàn)的小史》（中譯本為《基本粒子發(fā)現(xiàn)簡史》，上海科學(xué)技術(shù)出版社1963年出版）引用過（譯名為凡爾），楊先生引的那句話“不對稱很少僅僅由于對稱的不存在”，已成為深刻的哲理名言。我寫《分形藝術(shù)》時，也裝潢門面，把外爾和楊先生的話一并引了。在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)上，對稱意味著某種變換下的不變性，即“組元的構(gòu)形在其自同構(gòu)變換群作用下所具有的不變性”，通常的形式有鏡像對稱（左右對稱或者叫雙側(cè)對稱）、平移對稱、轉(zhuǎn)動對稱和伸縮對稱等。物理學(xué)中守恒律都與某種對稱性相聯(lián)系。

生物形態(tài)的對稱

一般指圖形和形態(tài)被點、線或平面區(qū)分為相等的部分而言。在生物形態(tài)上主要的對稱分為下列各種：（1）輻射對稱：與身體主軸成直角且互為等角的幾個軸（輻射軸）均相等，如果通過輻射軸把含有主軸的身體切開時，則常可把身體分為顯鏡像關(guān)系的兩個部分。例如海星可見有五個輻射軸。另外在高等植物的莖和花等，也常具有輻射對稱的結(jié)構(gòu)；

（2）雙輻射對稱：只有兩個輻射軸，彼此互成直角，形式上可以把它看成是從輻射對稱向左右對稱的過渡型（例如櫛水母）；

（3）左右對稱：或稱兩側(cè)對稱，是僅通過一個平面（正中矢面）將身體分為互相顯鏡像關(guān)系的兩個部分（例如脊椎動物的外形）。在正中矢面內(nèi)由身體前端至后端的軸稱為頭尾軸或縱軸，這個軸與身體長軸大都一致。在正中矢面內(nèi)與頭尾軸成直角并通過背腹的軸為背腹軸或矢狀軸。還有與正中矢面成直角的軸稱正中側(cè)面軸（或內(nèi)外軸）、該軸夾著正中矢面，彼此相等且具有方向相反的極性，如果將兩側(cè)的正中側(cè)面軸合起來看成為一軸時，則稱為橫軸。在輻射對稱中，如相當(dāng)于海星的一根足的同型部分，稱為副節(jié)（paramere），副節(jié)其本身成兩側(cè)對稱。一般兩側(cè)對稱的每一半為與同一軸相關(guān)而極向相反的同型部分，此稱為對節(jié)或體輻。副節(jié)、對節(jié)等的同型部分，一般來看，僅相互方向不同，可認(rèn)為這是與對外界的關(guān)系相同有著密切的聯(lián)系。所以在個體發(fā)生或系統(tǒng)發(fā)生過程中其生活方式變化時，而與之相關(guān)的對稱類型也時有變化。例如棘皮動物在自由運動的幼體期具有左右對稱的體制，在接近靜止生活的成體，則顯有輻射對稱的體制。再如比目魚等左右體側(cè)可成為二次的背腹關(guān)系。把無對稱的關(guān)系稱為非對稱（asymetry），其中具有規(guī)則形態(tài)的在生物界可廣泛見到的有螺旋性。此外還有即使外形上表現(xiàn)對稱，但與外界無直接關(guān)系的內(nèi)臟，基本既可表現(xiàn)為對稱的，也有不少由于形態(tài)變形而表現(xiàn)為不對稱的。

中心對稱

把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱（central symmetry），這個點叫做對稱中心，這兩個圖形的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。

中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯(lián)系的概念．它們的區(qū)別是：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個圖形關(guān)于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關(guān)于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關(guān)于中心對稱．

也就是說：

① 中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱圖形

正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)）、線段、圓、平行四邊形、直線等。

實際上，除了直線外，所有中心對稱圖形都只有一個對稱點。

既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形：不等腰三角形，直角梯形，普通四邊形

中心對稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

③關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點，使圖形繞著這個點旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°后，能夠完全重合，稱這兩個圖形關(guān)于該點對稱，該點稱為對稱中心。二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱為對稱中點。